Cas des suites monotones

Théorème  

1. Toute suite croissante et majorée converge.
2. Toute suite décroissante et minorée converge.

Exemple

On considère une suite $(u_n)$  telle que, pour tout entier naturel $n$ , on a  $2⩽u_{n+1}⩽u_n$ .

• Pour tout entier naturel $n$ , on a  $u_{n+1}⩽u_n$ . Donc la suite $(u_n)$  est décroissante.
  
• Pour tout entier naturel $n$ , on a  $2⩽u_n$ . Donc la suite $(u_n)$  est minorée par $2$ .
  

La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $2$  donc elle converge vers un réel $\ell$ .

Remarque

Attention, ce théorème assure l'existence d'une limite, mais il ne donne pas la valeur de cette dernière. En particulier, dans l'exemple précédent, on ne sait pas si la limite de la suite est $2$ .

Propriétés

1. Soit $(u_n)$  une suite croissante qui converge vers un réel $\ell$ , alors, pour tout entier naturel $n$ , $u_n⩽\ell$ .

2. Soit $(u_n)$  une suite décroissante qui converge vers un réel $\ell$ , alors, pour tout entier naturel $n$ , $u_n⩾\ell$ .

Démonstration

1. On démontre par l’absurde.
Supposons qu’il existe un entier naturel $N$ tel que $u_N>\ell$ , alors il existe un réel  $ϵ>0$ tel que $u_N=\ell +ϵ$ .
Comme la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ , pour cet $ϵ$ , il existe un entier naturel  $n_0$ tel que $\mathrm{\forall }n⩾n_0,\ell -ϵ<u_n<\ell +ϵ$ .
De plus, comme la suite est croissante, $\mathrm{\forall }n⩾N,u_n⩾u_N$ donc $u_n⩾\ell +ϵ$ .
Ainsi $\mathrm{\forall }n⩾max(n_0,N)$ ,  $u_n<\ell +ϵ$ et $u_n⩾\ell +ϵ$ . Ce qui est absurde.

2. La démonstration s'effectue de façon analogue.